Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{7} + 2$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{7} + 2$ como uma equação.

$y = x^{7} + 2$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{7} + 2$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{7} + 2 = x$ .

$y^{7} + 2 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y^{7} = x - 2$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[7]{x - 2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$ é o inverso de $f (x) = x^{7} + 2$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (x^{7} + 2)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = \sqrt[7]{(x^{7} + 2) - 2}$

Etapa 5.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

Etapa 5.2.4

Some $x^{7}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = \sqrt[7]{x^{7}}$

Etapa 5.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (x^{7} + 2) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\sqrt[7]{x - 2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(\sqrt[7]{x - 2})}^{7} + 2$

Etapa 5.3.3

Reescreva ${\sqrt[7]{x - 2}}^{7}$ como $x - 2$ .

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Etapa 5.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x - 2}$ como ${(x - 2)}^{\frac{1}{7}}$ .

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {({(x - 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} + 2$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} + 2$

Etapa 5.3.3.3

Combine $\frac{1}{7}$ e $7$ .

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{7}{7}} + 2$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = {(x - 2)}^{\frac{7}{7}} + 2$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = (x - 2) + 2$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique.

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = x - 2 + 2$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x - 2 + 2$ .

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Etapa 5.3.4.1

Some $- 2$ e $2$ .

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (\sqrt[7]{x - 2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$ é o inverso de $f (x) = x^{7} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x - 2}$