Pré-cálculo Exemplos

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ , $x + 2$

Etapa 1

Divida $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ usando a divisão sintética e verifique se o resto é igual a $0$ . Se o resto for igual a $0$ , isso significa que $x + 2$ é um fator para $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ . Se o resto não for igual a $0$ , isso significa que $x + 2$ não é um fator para $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

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Etapa 1.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

Etapa 1.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$

	$1$

Etapa 1.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(- 2)$ sob o próximo termo no dividendo $(2)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Etapa 1.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$0$

Etapa 1.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$

Etapa 1.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Etapa 1.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(0)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(0)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Etapa 1.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Etapa 1.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(- 8)$ pelo divisor $(- 2)$ e coloque o resultado de $(16)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Etapa 1.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$- 2$	$1$	$2$	$0$	$- 8$	$- 16$
		$- 2$	$0$	$0$	$16$
	$1$	$0$	$0$	$- 8$	$0$

Etapa 1.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x - 8$

Etapa 1.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - 8$

Etapa 2

O resto da divisão de $\frac{x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16}{x + 2}$ é $0$ , o que significa que $x + 2$ é um fator para $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$ .

$x + 2$ é um fator para $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x - 16$

Etapa 3

Encontre todas as raízes possíveis para $x^{3} - 8$ .

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Etapa 4

Estabeleça a próxima divisão para determinar se $x - 2$ é um fator do polinômio $x^{3} - 8$ .

$\frac{x^{3} - 8}{x - 2}$

Etapa 5

Divida a expressão usando a divisão sintética para determinar se é um fator do polinômio. $x - 2$ se divide uniformemente em $x^{3} - 8$ , então, $x - 2$ é um fator do polinômio e há um polinômio restante de $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Etapa 5.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

Etapa 5.2

O primeiro número no dividendo $(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$

	$1$

Etapa 5.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(1)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(2)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$

Etapa 5.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$
	$1$	$2$

Etapa 5.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(2)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(4)$ sob o próximo termo no dividendo $(0)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$

Etapa 5.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$
	$1$	$2$	$4$

Etapa 5.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado $(4)$ pelo divisor $(2)$ e coloque o resultado de $(8)$ sob o próximo termo no dividendo $(- 8)$ .

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$

Etapa 5.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$2$	$1$	$0$	$0$	$- 8$
		$2$	$4$	$8$
	$1$	$2$	$4$	$0$

Etapa 5.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 2 x + 4$

Etapa 5.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 2 x + 4$

Etapa 6

Encontre todas as raízes possíveis para $x^{2} + 2 x + 4$ .

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Etapa 6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 7

O fator final é o único fator que restou da divisão sintética.

$x^{2} + 2 x + 4$

Etapa 8

O polinômio fatorado é $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$