Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ como uma equação.

$y = 4 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 4 y^{\frac{1}{3}}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ .

$4 y^{\frac{1}{3}} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 y^{\frac{1}{3}} = x$ por $4$ .

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2.2

Divida $y^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

Etapa 3.4.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ é o inverso de $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(4 x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{4^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Etapa 5.2.3.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Etapa 5.2.3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

Etapa 5.2.3.4

Simplifique.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{64 x}{64}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 x^{\frac{1}{3}}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{3}}{64})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 {(\frac{x^{3}}{64})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{3}}{64}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{64^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 5.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{64^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 5.3.4.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{64^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 5.3.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{64^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{64^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 5.3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.5.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{{(4^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 5.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4^{3 (\frac{1}{3})}})$

Etapa 5.3.5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4^{3 (\frac{1}{3})}})$

Etapa 5.3.5.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.5.4

Avalie o expoente.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ é o inverso de $f (x) = 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$