Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Simplifique $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Etapa 2.1.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + \frac{3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x + 3 \cdot - 2}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 2 + 3 x - 6}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.1.3.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 4}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.1.3.4

Fatore $x^{2} + 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $3$ .

$- 1, 4$

Etapa 2.1.3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 1) (x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 2.2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.4

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1$

$x = - 4$

$x = 2$

Etapa 2.7

Consolide as soluções.

$x = 1, - 4, 2$

Etapa 2.8

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} + 2}{x - 2} + 3$ .

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Etapa 2.8.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 4$

$- 4 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.10.1

Teste um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 2.10.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} + 2}{(- 6) - 2} + 3 \geq 0$

Etapa 2.10.1.3

O lado esquerdo $- 1.75$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.10.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.10.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} + 2}{(0) - 2} + 3 \geq 0$

Etapa 2.10.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.10.3

Teste um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $1 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.5$

Etapa 2.10.3.2

Substitua $x$ por $1.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(1.5)}^{2} + 2}{(1.5) - 2} + 3 \geq 0$

Etapa 2.10.3.3

O lado esquerdo $- 5.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.10.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.10.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} + 2}{(4) - 2} + 3 \geq 0$

Etapa 2.10.4.3

O lado esquerdo $12$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < 1$ Verdadeiro

$1 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq x \leq 1$ ou $x > 2$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x^{2} + 2}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 4, 1] \cup (2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 4 \leq x \leq 1, x > 2}$

Etapa 6