Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ é indefinida.

$x = 3, x = 5$

Etapa 2

$\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $5$ a partir da esquerda e $\frac{(x + 7) (x - 3) (x + 1)}{(x - 3) (x - 5)}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $5$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 5$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Fatore $x^{2} - 8 x + 15$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $15$ e cuja soma é $- 8$ .

$- 5, - 3$

Etapa 6.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{(x - 5) (x - 3)}$

Etapa 6.2

Expanda $(x - 5) (x - 3)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x (x - 3) - 5 (x - 3)}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 (x - 3)}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x + x \cdot - 3 - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Etapa 6.2.4

Reordene $x$ e $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Etapa 6.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Etapa 6.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x \cdot x - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Etapa 6.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{1 + 1} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Etapa 6.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x - 5 \cdot - 3}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 3 x - 5 x + 15}$

Etapa 6.2.10

Subtraia $5 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{x^{3} + 5 x^{2} - 17 x - 21}{x^{2} - 8 x + 15}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 8 x^{2} + 15 x$ .

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $13 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$13$

$x^{2}$

$8 x$

$15$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$17 x$

$21$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$15 x$

$13 x^{2}$

$32 x$

$21$

$13 x^{2}$

$104 x$

$195$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $13 x^{2} - 104 x + 195$ .

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	+	$13$
$x^{2}$	-	$8 x$	+	$15$		$x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$17 x$	-	$21$
					-	$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	-	$15 x$
							+	$13 x^{2}$	-	$32 x$	-	$21$
							-	$13 x^{2}$	+	$104 x$	-	$195$
									+	$72 x$	-	$216$

Etapa 6.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + 13 + \frac{72 x - 216}{x^{2} - 8 x + 15}$

Etapa 6.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x + 13$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 5$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x + 13$

Etapa 8