Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} - 6 x + k$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y - x^{2} = - 6 x + k$

Etapa 1.1.2

Some $6 x$ aos dois lados da equação.

$y - x^{2} + 6 x = k$

Etapa 1.1.3

Subtraia $k$ dos dois lados da equação.

$y - x^{2} + 6 x - k = 0$

Etapa 1.1.4

Mova $6 x$ .

$y - x^{2} - k + 6 x = 0$

Etapa 1.1.5

Mova $y$ .

$- x^{2} - k + y + 6 x = 0$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $- x^{2} + 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Etapa 1.2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $36$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $0$ e $9$ .

$e = 9$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9$

Etapa 1.3

Substitua $- {(x - 3)}^{2} + 9$ por $- x^{2} + 6 x$ na equação $- x^{2} - k + y + 6 x = 0$ .

$- {(x - 3)}^{2} + 9 - k + y = 0$

Etapa 1.4

Mova $9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = 0 - 9$

Etapa 1.5

Subtraia $9$ de $0$ .

$- {(x - 3)}^{2} - k + y = - 9$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 3$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(3, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1}$

Etapa 5.3.3

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, 1)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, - 1)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(3, 1), (3, - 1)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, \sqrt{2})$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(3, - \sqrt{2})$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Etapa 8

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 8.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 8.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 8.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 8.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 8.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Etapa 10

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Remova os parênteses.

$y = 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Etapa 10.2

Simplifique $1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $1 \cdot (x - (3))$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x - (3))$

Etapa 10.2.2

Multiplique $x - (3)$ por $1$ .

$y = x - (3)$

Etapa 10.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = x - 3$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = - 1 \cdot (x - (3)) + 0$

Etapa 11.2

Simplifique $- 1 \cdot (x - (3)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Some $- 1 \cdot (x - (3))$ e $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - (3))$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3)$

Etapa 11.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 3$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 3$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$y = - x + 3$

Etapa 12

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = x - 3, y = - x + 3$

Etapa 13

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(3, 0)$

Vértices: $(3, 1), (3, - 1)$

Ponto imaginário: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Excentricidade: $(3, \sqrt{2}), (3, - \sqrt{2})$

Parâmetro focal: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Assíntotas: $y = x - 3$ , $y = - x + 3$

Etapa 14