Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{3} - 5 x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$x (2 x^{2}) - 5 x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x$ de $- 5 x^{2}$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) - 3 x = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$x (2 x^{2}) + x (- 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $x$ de $x (2 x^{2}) + x (- 5 x)$ .

$x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $x$ de $x (2 x^{2} - 5 x) + x \cdot - 3$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 5$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 x$ .

$x (2 x^{2} - 5 x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 5$ como $1$ mais $- 6$

$x (2 x^{2} + (1 - 6) x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x (2 x^{2} + x - 6 x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x ((2 x^{2} + x) - 6 x - 3) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$x ((2 x + 1) (x - 3)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (2 x + 1) (x - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $2 x + 1$ como igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (2 x + 1) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 3$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 3$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 3$ na desigualdade original.

$2 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} - 3 \cdot - 3 \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 90$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{1}{2} < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.25$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $- 0.25$ na desigualdade original.

$2 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} - 3 \cdot - 0.25 \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $0.40625$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$2 {(2)}^{3} - 5 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 10$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.4

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.9.4.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$2 {(6)}^{3} - 5 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 \geq 0$

Etapa 2.9.4.3

O lado esquerdo $234$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- \frac{1}{2} \leq x \leq 0$ ou $x \geq 3$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- \frac{1}{2}, 0] \cup [3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \frac{1}{2} \leq x \leq 0, x \geq 3}$

Etapa 4