Pré-cálculo Exemplos

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot 1 (y^{2} - 2 y - 15)}}{2}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 (y^{2} - 2 y - 15))}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$6^{2} - 4 \cdot (1 (y^{2} - 2 y - 15)) \geq 0$

Etapa 2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Simplifique $6^{2} - 4 \cdot (1 (y^{2} - 2 y - 15))$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$36 - 4 \cdot (1 (y^{2} - 2 y - 15)) \geq 0$

Etapa 2.1.1.2

Multiplique $y^{2} - 2 y - 15$ por $1$ .

$36 - 4 \cdot (y^{2} - 2 y - 15) \geq 0$

Etapa 2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$36 - 4 y^{2} - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 15 \geq 0$

Etapa 2.1.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$36 - 4 y^{2} + 8 y - 4 \cdot - 15 \geq 0$

Etapa 2.1.1.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 15$ .

$36 - 4 y^{2} + 8 y + 60 \geq 0$

Etapa 2.1.2

Some $36$ e $60$ .

$- 4 y^{2} + 8 y + 96 \geq 0$

Etapa 2.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$- 4 y^{2} + 8 y + 96 = 0$

Etapa 2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.1

Fatore $- 4$ de $- 4 y^{2} + 8 y + 96$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $- 4$ de $- 4 y^{2}$ .

$- 4 y^{2} + 8 y + 96 = 0$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $- 4$ de $8 y$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- 2 y) + 96 = 0$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $- 4$ de $96$ .

$- 4 y^{2} - 4 (- 2 y) - 4 \cdot - 24 = 0$

Etapa 2.3.1.4

Fatore $- 4$ de $- 4 (y^{2}) - 4 (- 2 y)$ .

$- 4 (y^{2} - 2 y) - 4 \cdot - 24 = 0$

Etapa 2.3.1.5

Fatore $- 4$ de $- 4 (y^{2} - 2 y) - 4 (- 24)$ .

$- 4 (y^{2} - 2 y - 24) = 0$

Etapa 2.3.2

Fatore.

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Etapa 2.3.2.1

Fatore $y^{2} - 2 y - 24$ usando o método AC.

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Etapa 2.3.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 6, 4$

Etapa 2.3.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- 4 ((y - 6) (y + 4)) = 0$

Etapa 2.3.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 4 (y - 6) (y + 4) = 0$

Etapa 2.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

$y + 4 = 0$

Etapa 2.5

Defina $y - 6$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $y - 6$ como igual a $0$ .

$y - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$y = 6$

Etapa 2.6

Defina $y + 4$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $y + 4$ como igual a $0$ .

$y + 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = - 4$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 (y - 6) (y + 4) = 0$ verdadeiro.

$y = 6, - 4$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$y < - 4$

$- 4 < y < 6$

$y > 6$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $y < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $y < - 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = - 6$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $y$ por $- 6$ na desigualdade original.

$6^{2} - 4 \cdot (1 ({(- 6)}^{2} - 2 \cdot - 6 - 15)) \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 96$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 4 < y < 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 4 < y < 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 0$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $y$ por $0$ na desigualdade original.

$6^{2} - 4 \cdot (1 ({(0)}^{2} - 2 \cdot 0 - 15)) \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $96$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $y > 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $y > 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$y = 8$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $y$ por $8$ na desigualdade original.

$6^{2} - 4 \cdot (1 ({(8)}^{2} - 2 \cdot 8 - 15)) \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 96$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$y < - 4$ Falso

$- 4 < y < 6$ Verdadeiro

$y > 6$ Falso

$y < - 4$ Falso

$- 4 < y < 6$ Verdadeiro

$y > 6$ Falso

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 4 \leq y \leq 6$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $y$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 4, 6]$

Notação de construtor de conjuntos:

${y | - 4 \leq y \leq 6}$

Etapa 4