Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ é indefinida.

$x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Etapa 2

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 2.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.2.1.2

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.2.2

Como a função $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $3$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 2.1.1.2.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $3$ removido.

$\frac{7 + lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.2.2.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{7 + \infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.2.3

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.3.2

Como a função $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $8$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 2.1.1.3.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $8$ removido.

$\frac{\infty}{4 - lim_{x \to \infty} e^{3 x}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{4 - \infty}$

Etapa 2.1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.1.3.3.1

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$\frac{\infty}{4 + - \infty}$

Etapa 2.1.1.3.3.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2.1.1.3.3.3

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2.1.1.3.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{- \infty}$

Etapa 2.1.2

Como $\frac{\infty}{- \infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7 + 3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 + 3 e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Etapa 2.1.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.1.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (e^{3 x} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 3 (3 \cdot e^{3 x})}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.4.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.5

Some $0$ e $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4 - 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 8 e^{3 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 + \frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 e^{3 x}]$ .

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Etapa 2.1.3.8.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}$

Etapa 2.1.3.8.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.1.3.8.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}$

Etapa 2.1.3.8.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Etapa 2.1.3.8.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}$

Etapa 2.1.3.8.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}$

Etapa 2.1.3.8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} (3 \cdot 1))}$

Etapa 2.1.3.8.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (e^{3 x} \cdot 3)}$

Etapa 2.1.3.8.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 8 (3 \cdot e^{3 x})}$

Etapa 2.1.3.8.7

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{0 - 24 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.3.9

Subtraia $24 e^{3 x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{9 e^{3 x}}{- 24 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.4

Reduza.

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Etapa 2.1.4.1

Cancele o fator comum de $9$ e $- 24$ .

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Etapa 2.1.4.1.1

Fatore $3$ de $9 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{- 24 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.4.1.2.1

Fatore $3$ de $- 24 e^{3 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Etapa 2.1.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (3 e^{3 x})}{3 (- 8 e^{3 x})}$

Etapa 2.1.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.4.2

Cancele o fator comum de $e^{3 x}$ .

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Etapa 2.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{- 8 e^{3 x}}$

Etapa 2.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{- 8}$

Etapa 2.2

Avalie o limite.

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Etapa 2.2.1

Avalie o limite de $\frac{3}{- 8}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{3}{- 8}$

Etapa 2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{8}$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{7 + 3 e^{3 x}}{4 - 8 e^{3 x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{7 + lim_{x \to - \infty} 3 e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.1.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 + 3 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.2

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite.

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Etapa 3.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.3.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - lim_{x \to - \infty} 8 e^{3 x}}$

Etapa 3.3.3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 lim_{x \to - \infty} e^{3 x}}$

Etapa 3.4

Como o expoente $3 x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{3 x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7 + 3 \cdot 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Etapa 3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{7 + 0}{4 - 8 \cdot 0}$

Etapa 3.5.1.2

Some $7$ e $0$ .

$\frac{7}{4 - 8 \cdot 0}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.5.2.1

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$\frac{7}{4 + 0}$

Etapa 3.5.2.2

Some $4$ e $0$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = \frac{\ln (\frac{1}{2})}{3}$

Assíntotas horizontais: $y = - \frac{3}{8}, \frac{7}{4}$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7