Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ é indefinida.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 2

$\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ a partir da esquerda e $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{10}}{5}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 3

$\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ a partir da esquerda e $\frac{10 x^{3} - 15 x^{2} + x - 1}{5 x^{2} - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{10}}{5}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 8.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x^{2}$ .

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 8.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

Etapa 8.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{3} + 0 - 4 x$ .

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$

Etapa 8.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$5 x^{2}$

$0 x$

$2$

$10 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$1$

$10 x^{3}$

$0$

$4 x$

$15 x^{2}$

$5 x$

Etapa 8.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$2 x$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Etapa 8.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Etapa 8.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$6$

Etapa 8.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 x^{2} + 0 + 6$ .

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$

Etapa 8.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$2 x$	-	$3$
$5 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$		$10 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$10 x^{3}$	-	$0$	+	$4 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$6$
									+	$5 x$	-	$7$

Etapa 8.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x - 3 + \frac{5 x - 7}{5 x^{2} - 2}$

Etapa 8.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 2 x - 3$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 2 x - 3$

Etapa 10