Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$ é indefinida.

$x = - 3, x = 0$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 5 x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 5 x^{2} + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (5 x) + 6 x}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (5 x) + x \cdot 6}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 6.1.1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x (5 x)$ .

$\frac{x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 6}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 6.1.1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{2} + 5 x) + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x^{2} + 5 x + 6)}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $5$ .

$2, 3$

Etapa 6.1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x ((x + 2) (x + 3))}{3 x^{2} + 9 x}$

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x^{2} + 9 x}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} + 9 x$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x) + 9 x}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $3 x$ de $9 x$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x) + 3 x (3)}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (3)$ .

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x + 3)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 2) (x + 3)}{3 x (x + 3)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 3)}$

Etapa 6.1.2.3

Cancele o fator comum de $x + 3$ .

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Etapa 6.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 2) (x + 3)}{3 (x + 3)}$

Etapa 6.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 2}{3}$

Etapa 6.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3$

$x$

$2$

Etapa 6.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3$ .

			$\frac{x}{3}$
	$3$		$x$	+	$2$

Etapa 6.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	+	$x$

Etapa 6.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x$ .

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$

Etapa 6.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$
		$0$

Etapa 6.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

		$\frac{x}{3}$
$3$		$x$	+	$2$
	-	$x$
		$0$	+	$2$

Etapa 6.8

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 6.9

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{3}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{3}$

Etapa 8