Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ é indefinida.

$- 1 \leq x \leq 0$

Etapa 2

$\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

$\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 1, 0$

Etapa 5

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Etapa 5.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Etapa 5.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Etapa 5.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Etapa 5.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{\sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 5.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 5.5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 5.5.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 5.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 5.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 5.8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 5.9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 5.9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 5.9.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 5.9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Etapa 5.9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 5.9.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 5.9.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 5.10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}$

Etapa 5.11

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Etapa 5.11.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.2.1

Divida $1 + 0$ por $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 5.11.2.2

Some $- 3$ e $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 5.11.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.2.3.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 3}{\sqrt{1}}$

Etapa 5.11.2.3.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{- 3}{1}$

Etapa 5.11.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Etapa 6

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x^{2} + x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x}}$

Etapa 6.1.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x^{1}}}$

Etapa 6.1.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x \cdot x + x \cdot 1}}$

Etapa 6.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 x + 1}{\sqrt{x (x + 1)}}$

Etapa 6.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{- 3 x}{x} + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x (x + 1)}{x \cdot x}}}$

Etapa 6.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 3 + \frac{1}{x}}{- \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - 3 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.5.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.7.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1}{x}}}$

Etapa 6.8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 6.9

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 6.9.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 6.9.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}}}$

Etapa 6.9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1}}}$

Etapa 6.9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 6.9.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 6.9.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 6.10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}$

Etapa 6.11

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{\frac{1 + 0}{1}}}$

Etapa 6.11.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.2.1

Divida $1 + 0$ por $1$ .

$\frac{- 3 + 0}{- \sqrt{1 + 0}}$

Etapa 6.11.2.2

Some $- 3$ e $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1 + 0}}$

Etapa 6.11.2.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.11.2.3.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{- 3}{- \sqrt{1}}$

Etapa 6.11.2.3.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{- 3}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 6.11.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 3}{- 1}$

Etapa 6.11.2.5

Divida $- 3$ por $- 1$ .

$3$

Etapa 7

Liste as assíntotas horizontais:

$y = - 3, 3$

Etapa 8

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1, 0$

Assíntotas horizontais: $y = - 3, 3$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 10