Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{3} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{3}}}{3} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{\frac{1}{3}}}{3} = 3 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{3}} = 3 x$

Etapa 3.4

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 x)}^{3}$

Etapa 3.5

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Etapa 3.5.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 x)}^{3}$

Etapa 3.5.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(3 x)}^{3}$

Etapa 3.5.1.1.2

Simplifique.

$y = {(3 x)}^{3}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${(3 x)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x$ .

$y = 3^{3} x^{3}$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = 27 x^{3}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 27 x^{3}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 {(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3})}^{3}$

Etapa 5.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{3^{3}})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}})$

Etapa 5.2.4.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{3^{3}})$

Etapa 5.2.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x}{3^{3}})$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x}{3^{3}})$

Etapa 5.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x}{27})$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = 27 (\frac{x}{27})$

Etapa 5.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (27 x^{3})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (27 x^{3}) = \frac{{(27 x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $27 x^{3}$ .

$f (27 x^{3}) = \frac{27^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$f (27 x^{3}) = \frac{{(3^{3})}^{\frac{1}{3}} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3}) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (27 x^{3}) = \frac{3^{3 (\frac{1}{3})} {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (27 x^{3}) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3.5

Avalie o expoente.

$f (27 x^{3}) = \frac{3 {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 5.3.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (27 x^{3}) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Etapa 5.3.3.6.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (27 x^{3}) = \frac{3 x^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Etapa 5.3.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (27 x^{3}) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.3.3.7

Simplifique.

$f (27 x^{3}) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (27 x^{3}) = \frac{3 x}{3}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (27 x^{3}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 27 x^{3}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = 27 x^{3}$