Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ é indefinida.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

$\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da esquerda e $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 3

$\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da esquerda e $\frac{6 x^{3} - 15 x^{2} + x - 4}{3 x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 8.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

Etapa 8.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

Etapa 8.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{3} + 0 - 2 x$ .

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$

Etapa 8.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$2 x$

$3 x^{2}$

$0 x$

$1$

$6 x^{3}$

$15 x^{2}$

$x$

$4$

$6 x^{3}$

$0$

$2 x$

$15 x^{2}$

$3 x$

Etapa 8.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$2 x$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Etapa 8.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 15 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x^{2}$ .

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Etapa 8.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							-	$15 x^{2}$	+	$0$	+	$5$

Etapa 8.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 15 x^{2} + 0 + 5$ .

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$

Etapa 8.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$2 x$	-	$5$
$3 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	+	$x$	-	$4$
					-	$6 x^{3}$	-	$0$	+	$2 x$
							-	$15 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
							+	$15 x^{2}$	-	$0$	-	$5$
									+	$3 x$	-	$9$

Etapa 8.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$2 x - 5 + \frac{3 x - 9}{3 x^{2} - 1}$

Etapa 8.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 2 x - 5$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 2 x - 5$

Etapa 10