Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ é indefinida.

$x = - 1, x = 1$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 1}$

Etapa 6.1.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Etapa 6.1.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.1.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 1}$

Etapa 6.1.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 6.1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} + x + 1}{x + 1}$

Etapa 6.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 6.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Etapa 6.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 6.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 6.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$

Etapa 6.7

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$x$
						$0$	+	$1$

Etapa 6.8

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + \frac{1}{x + 1}$

Etapa 6.9

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$x + \frac{x - 1}{x^{2} - 1}$

Etapa 6.10

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x$

Etapa 8