Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ como uma equação.

$y = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = x$ .

$\frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = 5 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = 5 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y^{\frac{1}{4}} = 5 x$

Etapa 3.4

Eleve cada lado da equação à potência de $4$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(5 x)}^{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(5 x)}^{4}$

Etapa 3.5.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(5 x)}^{4}$

Etapa 3.5.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(5 x)}^{4}$

Etapa 3.5.1.1.2

Simplifique.

$y = {(5 x)}^{4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${(5 x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

$y = 5^{4} x^{4}$

Etapa 3.5.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$y = 625 x^{4}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 {(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5})}^{4}$

Etapa 5.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{5^{4}})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{5^{4}})$

Etapa 5.2.4.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{5^{4}})$

Etapa 5.2.4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{5^{4}})$

Etapa 5.2.4.2

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{5^{4}})$

Etapa 5.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{625})$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{625})$

Etapa 5.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (625 x^{4})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{{(625 x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Aplique a regra do produto a $625 x^{4}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{625^{\frac{1}{4}} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $625$ como $5^{4}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{{(5^{4})}^{\frac{1}{4}} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{5^{4 (\frac{1}{4})} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (625 x^{4}) = \frac{5^{4 (\frac{1}{4})} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3.5

Avalie o expoente.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Etapa 5.3.3.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x^{4 (\frac{1}{4})}}{5}$

Etapa 5.3.3.6.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x^{4 (\frac{1}{4})}}{5}$

Etapa 5.3.3.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.3.7

Simplifique.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (625 x^{4}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$ é o inverso de $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$