Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ é indefinida.

$x = 0, x = 4$

Etapa 2

$\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $4$ a partir da esquerda e $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $4$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 4$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x - 4 x}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x (x - 4)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

Etapa 6.1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x (x + 2)) (x - 2)}{x - 4}$

$\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 4}$

Etapa 6.2

Expanda $x (x + 2) (x - 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2)}{x - 4}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x (x - 2) + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

Etapa 6.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Etapa 6.2.5

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (- 2 x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Etapa 6.2.6

Reordene $x$ e $- 2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Etapa 6.2.7

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Etapa 6.2.8

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x \cdot - 2}{x - 4}$

Etapa 6.2.9

Mova $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.10

Multiplique $- 2$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.11

Multiplique $2$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.15

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 1} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.18

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.19

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.20

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.21

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.22

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.23

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.24

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.26

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Etapa 6.2.27

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Etapa 6.2.28

Some $- 2 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 4 x}{x - 4}$

Etapa 6.2.29

Subtraia $4 x$ de $0$ .

$\frac{x^{3} - 4 x}{x - 4}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$0$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 6.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Etapa 6.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Etapa 6.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Etapa 6.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$

Etapa 6.13

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

Etapa 6.14

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $12 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

Etapa 6.15

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							+	$12 x$	-	$48$

Etapa 6.16

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $12 x - 48$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$

Etapa 6.17

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$
									+	$48$

Etapa 6.18

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48}{x - 4}$

Etapa 6.19

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48 x}{x^{2} - 4 x}$

Etapa 6.20

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x^{2} + 4 x + 12$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 4$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x^{2} + 4 x + 12$

Etapa 8