Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt{x + 2}$ como uma equação.

$y = \sqrt{x + 2}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt{y + 2}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt{y + 2} = x$ .

$\sqrt{y + 2} = x$

Etapa 3.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 2}$ como ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 2)}^{1} = x^{2}$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique.

$y + 2 = x^{2}$

Etapa 3.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = x^{2} - 2$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x + 2}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt{x + 2})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(\sqrt{x + 2})}^{2} - 2$

Etapa 5.2.3

Reescreva ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ como $x + 2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2$

Etapa 5.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2$

Etapa 5.2.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} - 2$

Etapa 5.2.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} - 2$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = (x + 2) - 2$

Etapa 5.2.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x + 2 - 2$

Etapa 5.2.4

Combine os termos opostos em $x + 2 - 2$ .

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Etapa 5.2.4.1

Subtraia $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x + 0$

Etapa 5.2.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} - 2)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{(x^{2} - 2) + 2}$

Etapa 5.3.3

Some $- 2$ e $2$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Etapa 5.3.4

Some $x^{2}$ e $0$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{x^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{2} - 2) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$ é o inverso de $f (x) = \sqrt{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$