Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

Etapa 1

Defina o denominador em $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Reagrupe os termos.

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Etapa 2.1.5

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 2.1.5.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

Etapa 2.1.5.2

Fatore $3 x$ de $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

Etapa 2.1.5.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

Etapa 2.1.6

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ .

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Etapa 2.1.6.1

Fatore $x + 1$ de $3 x (x + 1)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

Etapa 2.1.6.2

Fatore $x + 1$ de $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

Etapa 2.1.7

Some $- x$ e $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.1.8

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1.8.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.8.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 2.1.8.3

Reescreva o polinômio.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.1.8.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq - 1}$

Etapa 4