Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ como uma equação.

$y = \frac{\sqrt{x}}{5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \frac{\sqrt{y}}{5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\frac{\sqrt{y}}{5} = x$ .

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$

Etapa 3.2

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{y} = 5 x$

Etapa 3.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(5 x)}^{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Simplifique.

$y = {(5 x)}^{2}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Simplifique ${(5 x)}^{2}$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $5 x$ .

$y = 5^{2} x^{2}$

Etapa 3.5.3.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$y = 25 x^{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 {(\frac{\sqrt{x}}{5})}^{2}$

Etapa 5.2.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{5^{2}})$

Etapa 5.2.4

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 5.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}})$

Etapa 5.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}})$

Etapa 5.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Etapa 5.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Etapa 5.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Etapa 5.2.4.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Etapa 5.2.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Etapa 5.2.6

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 5.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Etapa 5.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (25 x^{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(5 x)}^{2}}}{5}$

Etapa 5.3.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Etapa 5.3.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (25 x^{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ é o inverso de $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$