Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ como uma equação.

$y = 4 \sqrt[3]{x}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 4 \sqrt[3]{y}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $4 \sqrt[3]{y} = x$ .

$4 \sqrt[3]{y} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $4 \sqrt[3]{y} = x$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $4 \sqrt[3]{y} = x$ por $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $\sqrt[3]{y}$ por $1$ .

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{4}$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{4}$ .

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

Etapa 3.4.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ é o inverso de $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{{(4 \sqrt[3]{x})}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.3.1

Aplique a regra do produto a $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{4^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 5.2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Etapa 5.2.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Etapa 5.2.3.3.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Etapa 5.2.3.3.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Etapa 5.2.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Etapa 5.2.3.3.5

Simplifique.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{x^{3}}{64})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4^{3}}}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $\frac{x^{3}}{4^{3}}$ como ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{x}{4})}^{3}}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Etapa 5.3.7.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ é o inverso de $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$