Pré-cálculo Exemplos

$g (x) = \frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ é indefinida.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, x = 1$

Etapa 2

$\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 3

$\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 4

$\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da esquerda e $\frac{5 x^{5}}{x^{3} - 2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 1$

Etapa 5

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

Etapa 6

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 7

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 3$

Etapa 8

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 9

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 9.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 9.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 9.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{5} + 0 - 10 x^{3} + 5 x^{2}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 9.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 9.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 9.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 9.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

Etapa 9.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{3} + 0 - 20 x + 10$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

Etapa 9.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$1$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$5 x^{5}$

$0$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$0$

$10 x^{3}$

$0$

$20 x$

$10$

$5 x^{2}$

$20 x$

$10$

Etapa 9.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$5 x^{2} + 10 + \frac{- 5 x^{2} + 20 x - 10}{x^{3} - 2 x + 1}$

Etapa 9.12

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 5 x^{2} + 10$

Etapa 10

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 5 x^{2} + 10$

Etapa 11