Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x^{2} - 3 x - 20 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Etapa 2.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ e cuja soma é $b = - 3$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $- 3$ de $- 3 x$ .

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $- 3$ como $5$ mais $- 8$

$2 x^{2} + (5 - 8) x - 20 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20 = 0$

Etapa 2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $2 x + 5$ como igual a $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x + 5) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{5}{2}, 4$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$2 {(- 5)}^{2} - 3 \cdot - 5 - 20 \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $45$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 20 \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 20$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 20 \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $34$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{5}{2} < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{5}{2} < x < 4$ Falso

$x > 4$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - \frac{5}{2}$ ou $x \geq 4$

Etapa 3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [4, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{5}{2}, x \geq 4}$

Etapa 4