Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{9 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$9 - x^{2} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 9$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 9$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 9$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 9$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{9}$

Etapa 2.4

Simplifique a equação.

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Etapa 2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{9}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.1

Simplifique $\sqrt{9}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 3 |$

Etapa 2.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$| x | \leq 3$

Etapa 2.5

Escreva $| x | \leq 3$ em partes.

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Etapa 2.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 2.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 3$

Etapa 2.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 2.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 3$

Etapa 2.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 3 & x \geq 0 \\ - x \leq 3 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 2.6

Encontre a intersecção de $x \leq 3$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 3$

Etapa 2.7

Resolva $- x \leq 3$ quando $x < 0$ .

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Etapa 2.7.1

Divida cada termo em $- x \leq 3$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 3$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{3}{- 1}$

Etapa 2.7.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.7.1.3.1

Divida $3$ por $- 1$ .

$x \geq - 3$

Etapa 2.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 3$ e $x < 0$ .

$- 3 \leq x < 0$

Etapa 2.8

Encontre a união das soluções.

$- 3 \leq x \leq 3$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2} + 7 x + 10}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Fatore $x^{2} + 7 x + 10$ usando o método AC.

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Etapa 4.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $10$ e cuja soma é $7$ .

$2, 5$

Etapa 4.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Etapa 4.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Etapa 4.3

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.4

Defina $x + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.4.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.4.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 5$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 3, - 2) \cup (- 2, 3]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 3 \leq x \leq 3, x \neq - 2}$

Etapa 6