Pré-cálculo Exemplos

$3 x^{2} - 2 y^{2} = 12$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $12$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{3 x^{2}}{12} - \frac{2 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 2$

$b = \sqrt{6}$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{4 + {(\sqrt{6})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{4 + 6^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{4 + 6}$

Etapa 5.3.3

Some $4$ e $6$ .

$\sqrt{10}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(2, 0), (- 2, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{10}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{10}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(\sqrt{6})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {\sqrt{6}}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 + 6^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 + 6^{1}}}{2}$

Etapa 8.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 + 6}}{2}$

Etapa 8.3.3

Some $4$ e $6$ .

$\frac{\sqrt{10}}{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6^{1}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.1.5

Avalie o expoente.

$\frac{6}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{6}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 \sqrt{10}}{10^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{6 \sqrt{10}}{10}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $6$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{10}$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{10})}{10}$

Etapa 9.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.2.1

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{2 (3 \sqrt{10})}{2 (5)}$

Etapa 9.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 \sqrt{10})}{2 \cdot 5}$

Etapa 9.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{\sqrt{6}}{2} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{\sqrt{6}}{2} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some $\frac{\sqrt{6}}{2} x$ e $0$ .

$y = \frac{\sqrt{6}}{2} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{\sqrt{6}}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{\sqrt{6}}{2} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $- \frac{\sqrt{6}}{2} x$ e $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{6}}{2} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{6}}{2}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{\sqrt{6} x}{2}, y = - \frac{x \sqrt{6}}{2}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(2, 0), (- 2, 0)$

Ponto imaginário: $(\sqrt{10}, 0), (- \sqrt{10}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

Parâmetro focal: $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

Assíntotas: $y = \frac{\sqrt{6} x}{2}$ , $y = - \frac{x \sqrt{6}}{2}$

Etapa 15