Pré-cálculo Exemplos

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

Etapa 1

Defina o argumento em $\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{- 1} - 2 > 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da desigualdade.

$\frac{1}{x} > 2$

Etapa 2.3

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Etapa 2.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.4.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Etapa 2.4.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = 2 x$

Etapa 2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $2 x = 1$ .

$2 x = 1$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Encontre o domínio de $x^{- 1} - 2$ .

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Etapa 2.6.1

Defina a base em $x^{- 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.6.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $- 2.5$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $2$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{6}$ não é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Etapa 3

Defina a base em $x^{- 1}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(0, \frac{1}{2})$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

Etapa 5