Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{2} - 9 x + 6}{5 x - 10}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 x^{2} - 9 x + 6}{5 x - 10}$ é indefinida.

$x = 2$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 9 x + 6$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) - 9 x + 6}{5 x - 10}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $3$ de $- 9 x$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 3 x) + 6}{5 x - 10}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot 2}{5 x - 10}$

Etapa 6.1.1.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 3 x)$ .

$\frac{3 (x^{2} - 3 x) + 3 \cdot 2}{5 x - 10}$

Etapa 6.1.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 3 x) + 3 \cdot 2$ .

$\frac{3 (x^{2} - 3 x + 2)}{5 x - 10}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore $x^{2} - 3 x + 2$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $2$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 2, - 1$

Etapa 6.1.1.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{3 ((x - 2) (x - 1))}{5 x - 10}$

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 x - 10}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $5$ de $5 x - 10$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 (x) - 10}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $5$ de $- 10$ .

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 x + 5 \cdot - 2}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $5$ de $5 x + 5 \cdot - 2$ .

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 (x - 2)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (x - 2) (x - 1)}{5 (x - 2)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (x - 1)}{5}$

Etapa 6.2

Expanda $3 (x - 1)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot - 1}{5}$

Etapa 6.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 3}{5}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$5$

$3 x$

$3$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $5$ .

			$\frac{3 x}{5}$
	$5$		$3 x$	-	$3$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	+	$3 x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x$ .

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	-	$3 x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	-	$3 x$
		$0$

Etapa 6.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

		$\frac{3 x}{5}$
$5$		$3 x$	-	$3$
	-	$3 x$
		$0$	-	$3$

Etapa 6.9

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{3 x}{5} - \frac{3}{5}$

Etapa 6.10

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{3 x}{5}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{3 x}{5}$

Etapa 8