Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ é indefinida.

$x = 0, x = 2$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - x}{3 x^{2} - 6 x}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 2$

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} - x$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 6.1.1.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 6.1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 6.1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 6.1.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x) - 6 x}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $3 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x) + 3 x (- 2)}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x - 2)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{3 x (x - 2)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x - 1) + 1 (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - 1 x + x - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.11

Some $- 1 x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 0 - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.2.12

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{x^{2} - 1}{3 (x - 2)}$

Etapa 6.3

Expanda $3 (x - 2)$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} - 1}{3 x + 3 \cdot - 2}$

Etapa 6.3.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 1}{3 x - 6}$

Etapa 6.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$6$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Etapa 6.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

Etapa 6.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 6.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - 2 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 6.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Etapa 6.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$

Etapa 6.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$

Etapa 6.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$4$

Etapa 6.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 4$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$4$

Etapa 6.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{2}{3}$
$3 x$	-	$6$		$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$3$

Etapa 6.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3}{3 x - 6}$

Etapa 6.15

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$\frac{x}{3} + \frac{2}{3} + \frac{3 x}{3 x^{2} - 6 x}$

Etapa 6.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 8