Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ como uma equação.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ .

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $7$ aos dois lados da equação.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

Etapa 3.2.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

Etapa 3.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Etapa 3.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Etapa 3.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

Etapa 3.4.1.1.2

Simplifique.

$y = {(7 + x)}^{2}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(7 + x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Reescreva ${(7 + x)}^{2}$ como $(7 + x) (7 + x)$ .

$y = (7 + x) (7 + x)$

Etapa 3.4.2.1.2

Expanda $(7 + x) (7 + x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

Etapa 3.4.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Etapa 3.4.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.3.1.1

Multiplique $7$ por $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Etapa 3.4.2.1.3.1.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

Etapa 3.4.2.1.3.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

Etapa 3.4.2.1.3.2

Some $7 x$ e $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique $49 + 14 x + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

Etapa 3.5.2

Reordene $14 x$ e $x^{2}$ .

$y = x^{2} + 14 x + 49$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Reescreva ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.2

Expanda $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.1.1.3

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.1.1.4

Divida $2$ por $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.1.2

Simplifique $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.1.3

Mova $- 7$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.1.4

Multiplique $- 7$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.3.2

Subtraia $7 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Etapa 5.2.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

Etapa 5.2.3.5

Multiplique $14$ por $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1.1

Some $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ e $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $98$ de $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 49 + 49$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.3.1

Some $- 49$ e $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{2} + 14 x + 49)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Reescreva $49$ como $7^{2}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Etapa 5.3.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Etapa 5.3.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Etapa 5.3.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Etapa 5.3.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Cancele o fator comum.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Etapa 5.3.3.3.2

Reescreva a expressão.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

Etapa 5.3.3.4

Simplifique.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $x + 7 - 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Subtraia $7$ de $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

Etapa 5.3.4.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$