Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$ é indefinida.

$x = - 7$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2} + 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 x (x) + 12 x}{x + 7}$

Etapa 5.1.2

Fatore $4 x$ de $12 x$ .

$\frac{4 x (x) + 4 x (3)}{x + 7}$

Etapa 5.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x) + 4 x (3)$ .

$\frac{4 x (x + 3)}{x + 7}$

Etapa 5.2

Expanda $4 x (x + 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 3}{x + 7}$

Etapa 5.2.2

Mova $x$ .

$\frac{4 x \cdot x + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Etapa 5.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Etapa 5.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Etapa 5.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Etapa 5.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Etapa 5.2.7

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$7$

$4 x^{2}$

$12 x$

$0$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x^{2} + 28 x$ .

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					-	$16 x$	-	$112$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 16 x - 112$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$
							+	$112$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$4 x - 16 + \frac{112}{x + 7}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 4 x - 16$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 7$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 4 x - 16$

Etapa 7