Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ é indefinida.

$- 1 \leq x \leq 1$

Etapa 2

$\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da esquerda e $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 1$

Etapa 3

$\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da esquerda e $\frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $1$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 1$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 1, 1$

Etapa 5

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Etapa 5.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5.3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.4.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 5.5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.8.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.8.3

Some $- 1 x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.8.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.2.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}$

Etapa 5.5.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Etapa 5.5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{1}{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Etapa 5.5.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 5.5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.6

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.7

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.11

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.12

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.13

Some $x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.14

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.15

Some $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 5.5.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Etapa 5.5.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Etapa 5.5.4.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Etapa 5.5.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}}$

Etapa 5.5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 5.6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 5.6.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 5.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 5.6.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1^{2}}}$

Etapa 6.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 6.3

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.4.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}}}$

Etapa 6.5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.8

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1.2.8.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.8.3

Some $- 1 x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 0 - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.8.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} - 1}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.2.9

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}$

Etapa 6.5.1.3

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Etapa 6.5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{1}{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}$

Etapa 6.5.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 6.5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.6

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.7

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.11

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.12

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.13

Some $x$ e $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.14

Subtraia $1$ de $1$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.15

Some $2 x$ e $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}$

Etapa 6.5.3.16

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Etapa 6.5.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{2 x}}}$

Etapa 6.5.4.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Etapa 6.5.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x}{x}}}$

Etapa 6.5.4.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1}}$

Etapa 6.6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1}}$

Etapa 6.6.2

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1}}$

Etapa 6.6.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Etapa 6.6.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

Etapa 6.6.2.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (- \frac{1}{1})$

Etapa 6.6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 6.6.2.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1$

Etapa 6.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Etapa 7

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 2, - 2$

Etapa 8

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1, 1$

Assíntotas horizontais: $y = 2, - 2$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 10