Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ como uma equação.

$y = x^{\frac{1}{4}} - 3$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = y^{\frac{1}{4}} - 3$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$ .

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y^{\frac{1}{4}} - x = 3$

Etapa 3.2.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y^{\frac{1}{4}} = 3 + x$

Etapa 3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $4$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(3 + x)}^{4}$

Etapa 3.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

Etapa 3.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

Etapa 3.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(3 + x)}^{4}$

Etapa 3.4.1.1.2

Simplifique.

$y = {(3 + x)}^{4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(3 + x)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Use o teorema binomial.

$y = 3^{4} + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.2.1

Eleve $3$ à potência de $4$ .

$y = 81 + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$y = 81 + 4 \cdot 27 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2.3

Multiplique $4$ por $27$ .

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 9 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2.5

Multiplique $6$ por $9$ .

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$

Etapa 3.5

Simplifique $81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova $81$ .

$y = 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 81$

Etapa 3.5.2

Mova $108 x$ .

$y = 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 108 x + 81$

Etapa 3.5.3

Mova $54 x^{2}$ .

$y = 12 x^{3} + x^{4} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Etapa 3.5.4

Reordene $12 x^{3}$ e $x^{4}$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Use o teorema binomial.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.2

Simplifique.

Etapa 5.2.3.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.3.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{3}{4}} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.4

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.6

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.7

Multiplique $9$ por $6$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.8

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.9

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.2.10

Eleve $- 3$ à potência de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.3

Use o teorema binomial.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{1}{4} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.1.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.3

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.4

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.5

Multiplique $9$ por $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.4.6

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} - 27) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} + 12 (- 9 x^{\frac{1}{2}}) + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.6.1

Multiplique $- 9$ por $12$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.6.2

Multiplique $27$ por $12$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.6.3

Multiplique $12$ por $- 27$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.7

Reescreva ${(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2}$ como $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 ((x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.8

Expanda $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} (x^{\frac{1}{4}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.9.1.1

Multiplique $x^{\frac{1}{4}}$ por $x^{\frac{1}{4}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.9.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.1.3

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.9.1.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.9.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.9.2

Subtraia $3 x^{\frac{1}{4}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.10

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 54 (- 6 x^{\frac{1}{4}}) + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.11

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.11.1

Multiplique $- 6$ por $54$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.11.2

Multiplique $54$ por $9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Etapa 5.2.3.12

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} + 108 \cdot - 3 + 81$

Etapa 5.2.3.13

Multiplique $108$ por $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Some $- 12 x^{\frac{3}{4}}$ e $12 x^{\frac{3}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 0 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.1.3

Subtraia $324 x^{\frac{1}{4}}$ de $324 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.1.4

Some $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.1.5

Some $- 108 x^{\frac{1}{4}}$ e $108 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 0 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.1.6

Some $x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $108 x^{\frac{1}{2}}$ de $54 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Some $- 54 x^{\frac{1}{2}}$ e $54 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0 + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.4

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.4.4.1

Subtraia $324$ de $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 243 + 486 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.4.2

Some $- 243$ e $486$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 243 - 324 + 81$

Etapa 5.2.4.4.3

Subtraia $324$ de $243$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 81 + 81$

Etapa 5.2.4.5

Combine os termos opostos em $x - 81 + 81$ .

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Etapa 5.2.4.5.1

Some $- 81$ e $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0$

Etapa 5.2.4.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = {(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)}^{\frac{1}{4}} - 3$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ é o inverso de $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$