Pré-cálculo Exemplos

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Etapa 1

Esta é uma progressão geométrica, pois existe uma razão comum entre cada termo. Nesse caso, multiplicar o termo anterior na progressão por $\frac{1}{3}$ resulta no próximo termo. Em outras palavras, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressão geométrica: $r = \frac{1}{3}$

Etapa 2

Use a fórmula de uma progressão geométrica $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ para encontrar o número de termos, $n$ .

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Etapa 2.1

Substitua os valores do primeiro termo, do último termo e da razão entre os termos na fórmula.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 2.2

Resolva $n$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ .

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.2.2

Simplifique $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.2.2.2

Combine $81$ e $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Etapa 2.2.3

Multiplique os dois lados por $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Cancele o fator comum de $3^{n - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Etapa 2.2.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1

Combine $\frac{1}{81}$ e $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Etapa 2.2.5

Resolva $n$ .

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Etapa 2.2.5.1

Reescreva a equação como $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ .

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique os dois lados da equação por $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 2.2.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1

Cancele o fator comum de $81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Etapa 2.2.5.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Etapa 2.2.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.2.1

Multiplique $81$ por $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Etapa 2.2.5.4

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Etapa 2.2.5.5

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$n - 1 = 8$

Etapa 2.2.5.6

Mova todos os termos que não contêm $n$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.5.6.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$n = 8 + 1$

Etapa 2.2.5.6.2

Some $8$ e $1$ .

$n = 9$

Etapa 3

Use a fórmula da soma de uma progressão geométrica $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ para encontrar a soma.

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Etapa 3.1

Substitua os valores do primeiro termo, da razão e do número de termos na fórmula da soma.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.7.2

Subtraia $19683$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.9

Combine expoentes.

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Etapa 3.2.1.9.1

Fatore o negativo.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.9.2

Combine $81$ e $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.9.3

Multiplique $81$ por $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10

Cancele o fator comum de $1594242$ e $19683$ .

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Etapa 3.2.1.10.1

Fatore $81$ de $1594242$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1.10.2.1

Fatore $81$ de $19683$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10.2.2

Cancele o fator comum.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.1.10.2.3

Reescreva a expressão.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.2.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 3.2.2.2

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Etapa 3.2.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Etapa 3.2.2.4.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Etapa 3.2.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Etapa 3.2.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Fatore $2$ de $19682$ .

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 3.2.5.2

Cancele o fator comum.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 3.2.5.3

Reescreva a expressão.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Etapa 3.2.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $3$ de $243$ .

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Etapa 3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Etapa 3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$