Pré-cálculo Exemplos

$\frac{6 x^{2} - 8 x + 3}{{(1 - x)}^{3}}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(1 - x)}^{3}$ .

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de ${(1 - x)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(6 x^{2} - 8 x + 3) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.5.2

Divida $6 x^{2} - 8 x + 3$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{(A) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de ${(1 - x)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{A {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{(B) {(1 - x)}^{3}}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.2

Cancele o fator comum de ${(1 - x)}^{3}$ e ${(1 - x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Fatore ${(1 - x)}^{2}$ de $(B) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{{(1 - x)}^{2} (B (1 - x))}{{(1 - x)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + \frac{B (1 - x)}{1} + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.2.2.4

Divida $B (1 - x)$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B (1 - x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B \cdot 1 + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B + B (- x) + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(C) {(1 - x)}^{3}}{1 - x}$

Etapa 1.6.6

Cancele o fator comum de ${(1 - x)}^{3}$ e $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.6.1

Fatore $1 - x$ de $(C) {(1 - x)}^{3}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{1 - x}$

Etapa 1.6.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.6.2.1

Multiplique por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Etapa 1.6.6.2.2

Cancele o fator comum.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{(1 - x) (C {(1 - x)}^{2})}{(1 - x) \cdot 1}$

Etapa 1.6.6.2.3

Reescreva a expressão.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + \frac{C {(1 - x)}^{2}}{1}$

Etapa 1.6.6.2.4

Divida $C {(1 - x)}^{2}$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C {(1 - x)}^{2}$

Etapa 1.6.7

Reescreva ${(1 - x)}^{2}$ como $(1 - x) (1 - x)$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C ((1 - x) (1 - x))$

Etapa 1.6.8

Expanda $(1 - x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 (1 - x) - x (1 - x))$

Etapa 1.6.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x (1 - x))$

Etapa 1.6.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 \cdot 1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Etapa 1.6.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 + 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))$

Etapa 1.6.9.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x \cdot 1 - x (- x))$

Etapa 1.6.9.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - x (- x))$

Etapa 1.6.9.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x))$

Etapa 1.6.9.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.9.1.5.1

Mova $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)))$

Etapa 1.6.9.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x - 1 \cdot (- 1 x^{2}))$

Etapa 1.6.9.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + 1 x^{2})$

Etapa 1.6.9.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - x - x + x^{2})$

Etapa 1.6.9.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C (1 - 2 x + x^{2})$

Etapa 1.6.10

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C \cdot 1 + C (- 2 x) + C x^{2}$

Etapa 1.6.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.11.1

Multiplique $C$ por $1$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C + C (- 2 x) + C x^{2}$

Etapa 1.6.11.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - B x + C - 2 C x + C x^{2}$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Mova $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B + C - 2 C x + C x^{2}$

Etapa 1.7.2

Mova $C$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A + B - x B - 2 C x + C x^{2} + C$

Etapa 1.7.3

Mova $B$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = A - x B - 2 C x + C x^{2} + B + C$

Etapa 1.7.4

Mova $A$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B - 2 C x + C x^{2} + A + B + C$

Etapa 1.7.5

Mova $- 2 C x$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = - x B + C x^{2} - 2 C x + A + B + C$

Etapa 1.7.6

Reordene $- x B$ e $C x^{2}$ .

$6 x^{2} - 8 x + 3 = C x^{2} - x B - 2 C x + A + B + C$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = C$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 8 = - 1 B - 2 C$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + B + C$

Etapa 2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

$6 = C$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $C = 6$ .

$C = 6$

$- 8 = - 1 B - 2 C$

$3 = A + B + C$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $6$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $- 8 = - 1 B - 2 C$ por $6$ .

$- 8 = - 1 B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$- 8 = - B - 2 \cdot 6$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + C$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $3 = A + B + C$ por $6$ .

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Etapa 3.2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Remova os parênteses.

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

$3 = A + B + 6$

$- 8 = - B - 12$

$C = 6$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $- 8 = - B - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- B - 12 = - 8$ .

$- B - 12 = - 8$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$- B = - 8 + 12$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 8$ e $12$ .

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$- B = 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- B = 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- B = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = \frac{4}{- 1}$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

$B = - 4$

$3 = A + B + 6$

$C = 6$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 4$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $3 = A + B + 6$ por $- 4$ .

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Etapa 3.4.2

Simplifique $3 = A - 4 + 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Remova os parênteses.

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A - 4 + 6$

$B = - 4$

$C = 6$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Some $- 4$ e $6$ .

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

$3 = A + 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Etapa 3.5

Resolva $A$ em $3 = A + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $A + 2 = 3$ .

$A + 2 = 3$

$B = - 4$

$C = 6$

Etapa 3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $A$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$A = 3 - 2$

$B = - 4$

$C = 6$

Etapa 3.5.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

$A = 1$

$B = - 4$

$C = 6$

Etapa 3.6

Resolva o sistema de equações.

$A = 1 B = - 4 C = 6$

Etapa 3.7

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = - 4, C = 6$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{B}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{C}{1 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{{(1 - x)}^{3}} + \frac{- 4}{{(1 - x)}^{2}} + \frac{6}{1 - x}$