Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ como uma equação.

$y = \sqrt[3]{x} + 5$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[3]{y} + 5$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[3]{y} + 5 = x$ .

$\sqrt[3]{y} + 5 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$\sqrt[3]{y} = x - 5$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{y}$ como $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(x - 5)}^{3}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 5)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Use o teorema binomial.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 5 + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.2.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Multiplique $25$ por $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x + {(- 5)}^{3}$

Etapa 3.4.3.1.2.4

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$y = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Use o teorema binomial.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {\sqrt[3]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x^{\frac{3}{3}} + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.1.5

Simplifique.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 {\sqrt[3]{x}}^{2} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.2

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 3 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot 5 + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 5^{2} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 3 \sqrt[3]{x} \cdot 25 + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.5

Multiplique $25$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 5^{3} - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.2.6

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 {(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2} + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.3

Reescreva ${(\sqrt[3]{x} + 5)}^{2}$ como $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ((\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.4

Expanda $(\sqrt[3]{x} + 5) (\sqrt[3]{x} + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} (\sqrt[3]{x} + 5) + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 (\sqrt[3]{x} + 5)) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.5.1.1

Multiplique $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Etapa 5.2.3.5.1.1.1

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.1.1.2

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 ({\sqrt[3]{x}}^{2} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.1.2

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot 5 + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.1.3

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \cdot \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \cdot 5) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.1.4

Multiplique $5$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 5 \sqrt[3]{x} + 5 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.5.2

Some $5 \sqrt[3]{x}$ e $5 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 (\sqrt[3]{x^{2}} + 10 \sqrt[3]{x} + 25) + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 15 (10 \sqrt[3]{x}) - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.7

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.7.1

Multiplique $10$ por $- 15$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 15 \cdot 25 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.7.2

Multiplique $- 15$ por $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 (\sqrt[3]{x} + 5) - 125$

Etapa 5.2.3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 75 \cdot 5 - 125$

Etapa 5.2.3.9

Multiplique $75$ por $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $x + 15 \sqrt[3]{x^{2}} + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 15 \sqrt[3]{x^{2}} - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Subtraia $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $15 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0 + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} - 375 + 75 \sqrt[3]{x} + 375 - 125$

Etapa 5.2.4.1.3

Some $- 375$ e $375$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 0 + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Etapa 5.2.4.1.4

Some $x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 125 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x} - 125$

Etapa 5.2.4.1.5

Subtraia $125$ de $125$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} + 0 - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Etapa 5.2.4.1.6

Some $x + 75 \sqrt[3]{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 75 \sqrt[3]{x} - 150 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $150 \sqrt[3]{x}$ de $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x - 75 \sqrt[3]{x} + 75 \sqrt[3]{x}$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Some $- 75 \sqrt[3]{x}$ e $75 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x + 0$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x} + 5) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125} + 5$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Associe cada termo aos termos da fórmula do teorema binomial.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (5 x^{2}) + 3 \cdot (5^{2} x) - 1 \cdot 5^{3}} + 5$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $x^{3} - 3 \cdot 5 x^{2} + 3 \cdot 5^{2} x - 1 \cdot 5^{3}$ usando o teorema binomial.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = \sqrt[3]{{(x - 5)}^{3}} + 5$

Etapa 5.3.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x - 5 + 5$

Etapa 5.3.5

Combine os termos opostos em $x - 5 + 5$ .

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Etapa 5.3.5.1

Some $- 5$ e $5$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x + 0$

Etapa 5.3.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f (x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[3]{x} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$