Pré-cálculo Exemplos

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $889$ aos dois lados da equação.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $11 x^{2} + 22 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $22$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $22$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 11$ .

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{11}{11}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{11}{11}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $22$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $484$ por $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$e = 0 - 11$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $11$ de $0$ .

$e = - 11$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Etapa 1.3

Substitua $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ por $11 x^{2} + 22 x$ na equação $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Etapa 1.4

Mova $- 11$ para o lado direito da equação, somando $11$ aos dois lados.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 25 y^{2} + 250 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $250$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $250$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{125}{- 25}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $125$ e $- 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $25$ de $125$ .

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Etapa 1.5.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$d = - 5$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $250$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $62500$ por $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $625$ .

$e = 625$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ .

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Etapa 1.6

Substitua $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ por $- 25 y^{2} + 250 y$ na equação $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Etapa 1.7

Mova $625$ para o lado direito da equação, somando $625$ aos dois lados.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Etapa 1.8

Simplifique $889 + 11 - 625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $889$ e $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Etapa 1.8.2

Subtraia $625$ de $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $275$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 1, 5)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{25 + 11}$

Etapa 5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Some $25$ e $11$ .

$\sqrt{36}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\sqrt{6^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$6$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, 5)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 6, 5)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(5, 5)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 7, 5)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Etapa 8.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Etapa 8.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Etapa 8.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Etapa 8.3.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Etapa 8.3.3

Some $25$ e $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{6}{5}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Etapa 9.3

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Etapa 9.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Etapa 9.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 9.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Etapa 9.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{11^{1}}{6}$

Etapa 9.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{11}{6}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Etapa 11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Etapa 11.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Etapa 11.2.3

Combine $\frac{\sqrt{11}}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Etapa 11.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt{11}}{5}$ por $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Etapa 12.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Etapa 12.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Etapa 12.2.3

Combine $x$ e $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Etapa 12.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(- 1, 5)$

Vértices: $(4, 5), (- 6, 5)$

Ponto imaginário: $(5, 5), (- 7, 5)$

Excentricidade: $\frac{6}{5}$

Parâmetro focal: $\frac{11}{6}$

Assíntotas: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Etapa 15