Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{1 - x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} - 2 x - 1}{1 - x}$ é indefinida.

$x = 1$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Reordene $1$ e $- x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{- x + 1}$

Etapa 5.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Etapa 5.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Etapa 5.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 5.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 5.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$

Etapa 5.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$

Etapa 5.8

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$

Etapa 5.9

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$
						-	$x$	+	$1$

Etapa 5.10

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x + 1$ .

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$
						+	$x$	-	$1$

Etapa 5.11

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$x$	+	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						-	$x$	-	$1$
						+	$x$	-	$1$
								-	$2$

Etapa 5.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- x + 1 - \frac{2}{- x + 1}$

Etapa 5.13

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - x + 1$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - x + 1$

Etapa 7