Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$ é indefinida.

$x = - 10$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x^{2} + 15 x + 54$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $54$ e cuja soma é $15$ .

$6, 9$

Etapa 5.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 30}$

Etapa 5.1.2

Fatore $3$ de $3 x + 30$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x) + 30}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $3$ de $30$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 x + 3 \cdot 10}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $3$ de $3 x + 3 \cdot 10$ .

$\frac{(x + 6) (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2

Expanda $(x + 6) (x + 9)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x + 9) + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 (x + 9)}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 9 + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.4

Reordene $x$ e $9$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 6 \cdot 9}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $6$ por $9$ .

$\frac{x^{2} + 9 x + 6 x + 54}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.2.10

Some $9 x$ e $6 x$ .

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 (x + 10)}$

Etapa 5.3

Expanda $3 (x + 10)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 3 \cdot 10}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{x^{2} + 15 x + 54}{3 x + 30}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$30$

$x^{2}$

$15 x$

$54$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			+	$x^{2}$	+	$10 x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + 10 x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					+	$5 x$	+	$50$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x + 50$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{5}{3}$
$3 x$	+	$30$		$x^{2}$	+	$15 x$	+	$54$
			-	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$5 x$	+	$54$
					-	$5 x$	-	$50$
							+	$4$

Etapa 5.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{5}{3} + \frac{4}{3 x + 30}$

Etapa 5.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 10$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{3} + \frac{5}{3}$

Etapa 7