Pré-cálculo Exemplos

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x^{5} + 2 x^{3} + x}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Fatore a fração.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x}$

Etapa 1.1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x^{1}}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.6

Fatore $x$ de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (x^{4} + 2 x^{2} + 1)}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1)}$

Etapa 1.1.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 u + 1)}$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Etapa 1.1.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Etapa 1.1.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x {(u + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

Etapa 1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) ({(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.6.2

Divida $3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.1.2

Divida $A ({(x^{2} + 1)}^{2})$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A ({(x^{2} + 1)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.2

Reescreva ${(x^{2} + 1)}^{2}$ como $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.3

Expanda $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.4.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.4.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.4.2

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + A (2 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.6

Simplifique.

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Etapa 1.7.6.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $A$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.7

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.7.7.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.7.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.8

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.9

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.9.1

Mova $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.9.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.10

Cancele o fator comum de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ e $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.7.10.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.7.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.7.10.2.1

Multiplique por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.7.10.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Etapa 1.7.10.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (x^{2} + 1))}{1}$

Etapa 1.7.10.2.4

Divida $(D x + F) (x (x^{2} + 1))$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (x^{2} + 1))$

Etapa 1.7.11

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Etapa 1.7.12

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.7.12.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.7.12.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Etapa 1.7.12.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{1 + 2} + x \cdot 1)$

Etapa 1.7.12.2

Some $1$ e $2$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x \cdot 1)$

Etapa 1.7.13

Multiplique $x$ por $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x)$

Etapa 1.7.14

Expanda $(D x + F) (x^{3} + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.7.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (x^{3} + x) + F (x^{3} + x)$

Etapa 1.7.14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F (x^{3} + x)$

Etapa 1.7.14.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Etapa 1.7.15

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.7.15.1

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.15.1.1

Mova $x^{3}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Etapa 1.7.15.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 1.7.15.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Etapa 1.7.15.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{3 + 1} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Etapa 1.7.15.1.3

Some $3$ e $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Etapa 1.7.15.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.15.2.1

Mova $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D (x \cdot x) + F x^{3} + F x$

Etapa 1.7.15.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Etapa 1.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.8.1

Mova $A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Etapa 1.8.2

Reordene $B$ e $x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Etapa 1.8.3

Reordene $F$ e $x^{3}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Etapa 1.8.4

Reordene $F$ e $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Etapa 1.8.5

Mova $A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x + A$

Etapa 1.8.6

Mova $C x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + C x + F x + A$

Etapa 1.8.7

Mova $D x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + F x^{3} + D x^{2} + C x + F x + A$

Etapa 1.8.8

Mova $B x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + D x^{4} + F x^{3} + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Etapa 1.8.9

Mova $2 x^{2} A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + D x^{4} + F x^{3} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{4}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A + D$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{3}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = F$

Etapa 2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 2.4

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$6 = C + F$

Etapa 2.5

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$3 = A$

Etapa 2.6

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$3 = A + D$

$1 = F$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

$3 = A + D$

$1 = F$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $F = 1$ .

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $F$ por $1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $F$ em $6 = C + F$ por $1$ .

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

Etapa 3.2.3

Reescreva a equação como $A = 3$ .

$A = 3$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$A = 3$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $3$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $C + 1 = 6$ .

$C + 1 = 6$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = 6 - 1$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $3 = A + D$ por $3$ .

$3 = (3) + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 3.3.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Remova os parênteses.

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

Etapa 3.3.5

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = 2 A + B + D$ por $3$ .

$4 = 2 (3) + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.3.6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.4

Resolva $D$ em $3 = 3 + D$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $3 + D = 3$ .

$3 + D = 3$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $D$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$D = 3 - 3$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.5

Substitua todas as ocorrências de $D$ por $0$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Substitua todas as ocorrências de $D$ em $4 = 6 + B + D$ por $0$ .

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.5.2

Simplifique $4 = 6 + B + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Remova os parênteses.

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Some $6 + B$ e $0$ .

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.6

Resolva $B$ em $4 = 6 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $6 + B = 4$ .

$6 + B = 4$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.6.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$B = 4 - 6$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.6.2.2

Subtraia $6$ de $4$ .

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Etapa 3.7

Resolva o sistema de equações.

$B = - 2 D = 0 C = 5 A = 3 F = 1$

Etapa 3.8

Liste todas as soluções.

$B = - 2, D = 0, C = 5, A = 3, F = 1$

Etapa 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Remova os parênteses.

$\frac{3}{x} + \frac{(- 2) \cdot x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 5.2

Multiplique $- 2$ por $x$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 5.3

Multiplique $0$ por $x$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 1}$

Etapa 5.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$