Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$ é indefinida.

$x = - 1$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Fatore $3$ de $6 x^{2} + 69 x + 168$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 69 x + 168}{x + 1}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $3$ de $69 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 168}{x + 1}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $3$ de $168$ .

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.1.4

Fatore $3$ de $3 (2 x^{2}) + 3 (23 x)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (2 x^{2} + 23 x) + 3 (56)$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 x + 56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.1.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 56 = 112$ e cuja soma é $b = 23$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Fatore $23$ de $23 x$ .

$\frac{3 (2 x^{2} + 23 (x) + 56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva $23$ como $7$ mais $16$

$\frac{3 (2 x^{2} + (7 + 16) x + 56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2} + 7 x + 16 x + 56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.1.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 7 x) + 16 x + 56)}{x + 1}$

Etapa 5.1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 (x (2 x + 7) + 8 (2 x + 7))}{x + 1}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 7$ .

$\frac{3 ((2 x + 7) (x + 8))}{x + 1}$

$\frac{3 (2 x + 7) (x + 8)}{x + 1}$

Etapa 5.2

Expanda $3 (2 x + 7) (x + 8)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(3 (2 x) + 3 \cdot 7) (x + 8)}{x + 1}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) (x + 8) + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 (x + 8))}{x + 1}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x) x + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.5

Remova os parênteses.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.6

Remova os parênteses.

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot (2 x) \cdot 8 + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.7

Mova $x$ .

$\frac{3 \cdot (2 x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.8

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x \cdot x + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (x \cdot x) + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 x^{2} + 3 \cdot 2 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6 x^{2} + 6 \cdot (8 x) + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.14

Multiplique $6$ por $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 3 \cdot (7 x) + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.15

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 3 \cdot 7 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.16

Multiplique $3$ por $7$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 21 \cdot 8}{x + 1}$

Etapa 5.2.17

Multiplique $21$ por $8$ .

$\frac{6 x^{2} + 48 x + 21 x + 168}{x + 1}$

Etapa 5.2.18

Some $48 x$ e $21 x$ .

$\frac{6 x^{2} + 69 x + 168}{x + 1}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$6 x^{2}$

$69 x$

$168$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$6 x$
	$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			+	$6 x^{2}$	+	$6 x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{2} + 6 x$ .

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$6 x$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $63 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					+	$63 x$	+	$63$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $63 x + 63$ .

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$6 x$	+	$63$
$x$	+	$1$		$6 x^{2}$	+	$69 x$	+	$168$
			-	$6 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$63 x$	+	$168$
					-	$63 x$	-	$63$
							+	$105$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$6 x + 63 + \frac{105}{x + 1}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = 6 x + 63$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = 6 x + 63$

Etapa 7