Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$ é indefinida.

$x = - 1$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 x + 3}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 x + 3}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 x + 3}$

Etapa 5.1.2

Fatore $3$ de $3 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x) + 3 (1)}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $3$ de $3 (x) + 3 (1)$ .

$\frac{x (x + 2)}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.2

Expanda $x (x + 2)$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.2.2

Reordene $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.2.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 1} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.2.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 (x + 1)}$

Etapa 5.3

Expanda $3 (x + 1)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3 \cdot 1}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 x}{3 x + 3}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$3 x$

$3$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

					$\frac{x}{3}$
	$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} + x$ .

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$\frac{x}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $3 x$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$\frac{x}{3}$	+	$\frac{1}{3}$
$3 x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$
							-	$1$

Etapa 5.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 x + 3}$

Etapa 5.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3}$

Etapa 7