Pré-cálculo Exemplos

$9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

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Etapa 1.1

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 x^{2}}{144} - \frac{16 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{16 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $16$ e $9$ .

$\sqrt{25}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$5$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(4, 0), (- 4, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(5, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 5, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(5, 0), (- 5, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} + {(3)}^{2}}}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 3^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Etapa 8.3.3

Some $16$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Etapa 8.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Etapa 8.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{4}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{5}$

Etapa 9.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{3}{4} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{3}{4} x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $\frac{3}{4} x$ e $0$ .

$y = \frac{3}{4} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{3}{4}$ e $x$ .

$y = \frac{3 x}{4}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{3}{4} x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- \frac{3}{4} x$ e $0$ .

$y = - \frac{3}{4} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4}$

Etapa 12.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{3 x}{4}, y = - \frac{3 x}{4}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(4, 0), (- 4, 0)$

Ponto imaginário: $(5, 0), (- 5, 0)$

Excentricidade: $\frac{5}{4}$

Parâmetro focal: $\frac{9}{5}$

Assíntotas: $y = \frac{3 x}{4}$ , $y = - \frac{3 x}{4}$

Etapa 15