Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.3

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.4

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - 5$

$x = 7$

$x = 2$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = - 5, 7, 2$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Etapa 2.7.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.7.2.2

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 2.7.2.2.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 2.7.2.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.7.2.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.7.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 2$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{(- 8) + 5}{((- 8) - 7) ((- 8) - 2)} \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 0.02$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{(0) + 5}{((0) - 7) ((0) - 2)} \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $0.3\overline{571428}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{(4) + 5}{((4) - 7) ((4) - 2)} \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 1.5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.4

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 2.9.4.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{(10) + 5}{((10) - 7) ((10) - 2)} \geq 0$

Etapa 2.9.4.3

O lado esquerdo $0.625$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < 2$ Verdadeiro

$2 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq x < 2$ ou $x > 7$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 4.2

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 4.2.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 4.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 4.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 2$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 5, 2) \cup (7, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 5 \leq x < 2, x > 7}$

Etapa 6