Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$ é indefinida.

$x = - \frac{5}{3}$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot 45 = 135$ e cuja soma é $b = 32$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Fatore $32$ de $32 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 (x) + 45}{6 x + 10}$

Etapa 6.1.1.1.2

Reescreva $32$ como $5$ mais $27$

$\frac{3 x^{2} + (5 + 27) x + 45}{6 x + 10}$

Etapa 6.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 5 x + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Etapa 6.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(3 x^{2} + 5 x) + 27 x + 45}{6 x + 10}$

Etapa 6.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (3 x + 5) + 9 (3 x + 5)}{6 x + 10}$

Etapa 6.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 5$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{6 x + 10}$

Etapa 6.1.2

Fatore $2$ de $6 x + 10$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 10}$

Etapa 6.1.2.2

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x) + 2 (5)}$

Etapa 6.1.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (5)$ .

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de $3 x + 5$ .

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Etapa 6.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(3 x + 5) (x + 9)}{2 (3 x + 5)}$

Etapa 6.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x + 9}{2}$

Etapa 6.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2$

$x$

$9$

Etapa 6.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2$ .

			$\frac{x}{2}$
	$2$		$x$	+	$9$

Etapa 6.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	+	$x$

Etapa 6.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x$ .

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$

Etapa 6.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$

Etapa 6.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

		$\frac{x}{2}$
$2$		$x$	+	$9$
	-	$x$
		$0$	+	$9$

Etapa 6.8

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{2} + \frac{9}{2}$

Etapa 6.9

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{2}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{2}$

Etapa 8