Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$ é indefinida.

$x = 1$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}$

Etapa 5.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 5.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 5.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{3}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Expanda ${(x - 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{3}}{(x - 1) (x - 1)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3}}{x (x - 1) - 1 (x - 1)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3}}{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.5

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3}}{x \cdot x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3}}{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.9

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}$

Etapa 5.2.11

Subtraia $1 x$ de $- 1 x$ .

$\frac{x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}$

Etapa 5.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 5.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 5.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 5.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - 2 x^{2} + x$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 5.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

Etapa 5.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 5.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

Etapa 5.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Etapa 5.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} - 4 x + 2$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

Etapa 5.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$2$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2 x^{2}$

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$4 x$

$2$

$3 x$

$2$

Etapa 5.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + 2 + \frac{3 x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$

Etapa 5.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x + 2$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 1$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x + 2$

Etapa 7