Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x^{2} + 9 x + 18 \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{2} + 9 x + 18 = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{2} + 9 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $9$ .

$3, 6$

Etapa 2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 3) (x + 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, - 6$

Etapa 2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 6$

$- 6 < x < - 3$

$x > - 3$

Etapa 2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 6$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

${(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 18 \geq 0$

Etapa 2.8.1.3

O lado esquerdo $10$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.2

Teste um valor no intervalo $- 6 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 6 < x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.8.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 18 \geq 0$

Etapa 2.8.2.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.8.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{2} + 9 (0) + 18 \geq 0$

Etapa 2.8.3.3

O lado esquerdo $18$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadeiro

$x < - 6$ Verdadeiro

$- 6 < x < - 3$ Falso

$x > - 3$ Verdadeiro

Etapa 2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \leq - 6$ ou $x \geq - 3$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{x - 2}{\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x^{2} + 9 x + 18} = 0$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 9 x + 18}$ como ${(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique ${({(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} + 9 x + 18)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} + 9 x + 18)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} + 9 x + 18 = 0^{2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} + 9 x + 18 = 0$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 18$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $9$ .

$3, 6$

Etapa 4.3.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 3) (x + 6) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 4.3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 4.3.4

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 3) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 3, - 6$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 6) \cup (- 3, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x < - 6, x > - 3}$

Etapa 6