Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ como uma equação.

$y = \sqrt[4]{x} + 6$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = \sqrt[4]{y} + 6$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $\sqrt[4]{y} + 6 = x$ .

$\sqrt[4]{y} + 6 = x$

Etapa 3.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$\sqrt[4]{y} = x - 6$

Etapa 3.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Etapa 3.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x - 6)}^{4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x - 6)}^{4}$

Etapa 3.4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(x - 6)}^{4}$

Etapa 3.4.2.1.2

Simplifique.

$y = {(x - 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Simplifique ${(x - 6)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.1

Use o teorema binomial.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 6 + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1.2.1

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} {(- 6)}^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3.1.2.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 36 + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3.1.2.3

Multiplique $36$ por $6$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x {(- 6)}^{3} + {(- 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3.1.2.4

Eleve $- 6$ à potência de $3$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} + 4 x \cdot - 216 + {(- 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3.1.2.5

Multiplique $- 216$ por $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + {(- 6)}^{4}$

Etapa 3.4.3.1.2.6

Eleve $- 6$ à potência de $4$ .

$y = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6)$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1

Use o teorema binomial.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ como $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.2.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.1.5

Simplifique.

Etapa 5.2.3.2.2

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ como $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot 6 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.4

Multiplique $6$ por $6^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.3.2.4.1

Mova $6^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2} \cdot (6 {\sqrt[4]{x}}^{2}) + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.4.2

Multiplique $6^{2}$ por $6$ .

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Etapa 5.2.3.2.4.2.1

Eleve $6$ à potência de $1$ .

Etapa 5.2.3.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{2 + 1} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.4.3

Some $2$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 6^{3} {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.5

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {\sqrt[4]{x}}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.6.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 (1)}{4}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 5.2.3.2.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 x^{\frac{1}{2}} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.6.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{3} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.7

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot 216 + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.8

Multiplique $216$ por $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 6^{4} - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.2.9

Eleve $6$ à potência de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{3} + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.3

Use o teorema binomial.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.1

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ como $\sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.4.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 5.2.3.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.2.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot 6 + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.3

Multiplique $6$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 6^{2} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 36 + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.5

Multiplique $36$ por $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 6^{3}) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.4.6

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 (\sqrt[4]{x^{3}} + 18 \sqrt{x} + 108 \sqrt[4]{x} + 216) + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 24 (18 \sqrt{x}) - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.6.1

Multiplique $18$ por $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 24 (108 \sqrt[4]{x}) - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.6.2

Multiplique $108$ por $- 24$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 24 \cdot 216 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.6.3

Multiplique $- 24$ por $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 {(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2} - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.7

Reescreva ${(\sqrt[4]{x} + 6)}^{2}$ como $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ((\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.8

Expanda $(\sqrt[4]{x} + 6) (\sqrt[4]{x} + 6)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} + 6) + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 (\sqrt[4]{x} + 6)) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 5.2.3.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.2.3.9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.9.1.1

Multiplique $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.9.1.1.1

Eleve $\sqrt[4]{x}$ à potência de $1$ .

Etapa 5.2.3.9.1.1.2

Eleve $\sqrt[4]{x}$ à potência de $1$ .

Etapa 5.2.3.9.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2

Reescreva ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ como $\sqrt{x}$ .

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Etapa 5.2.3.9.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.2.3.9.1.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

Etapa 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.2.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.3

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \cdot \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \cdot 6) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.1.4

Multiplique $6$ por $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 6 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.9.2

Some $6 \sqrt[4]{x}$ e $6 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 (\sqrt{x} + 12 \sqrt[4]{x} + 36) - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.10

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 216 (12 \sqrt[4]{x}) + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.11

Simplifique.

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Etapa 5.2.3.11.1

Multiplique $12$ por $216$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 216 \cdot 36 - 864 (\sqrt[4]{x} + 6) + 1296$

Etapa 5.2.3.11.2

Multiplique $216$ por $36$ .

Etapa 5.2.3.12

Aplique a propriedade distributiva.

Etapa 5.2.3.13

Multiplique $- 864$ por $6$ .

Etapa 5.2.4

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.2.4.1

Combine os termos opostos em $x + 24 \sqrt[4]{x^{3}} + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 24 \sqrt[4]{x^{3}} - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$ .

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Etapa 5.2.4.1.1

Subtraia $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ de $24 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0 + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.1.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 2592 \sqrt[4]{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 2592 \sqrt[4]{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.1.3

Some $- 2592 \sqrt[4]{x}$ e $2592 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} + 0 - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.1.4

Some $x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 864 \sqrt[4]{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 864 \sqrt[4]{x} - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.1.5

Subtraia $864 \sqrt[4]{x}$ de $864 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 0 + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.1.6

Some $x + 216 \sqrt{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 216 \sqrt{x} + 1296 - 432 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.2

Subtraia $432 \sqrt{x}$ de $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.3

Combine os termos opostos em $x + 1296 - 216 \sqrt{x} - 5184 + 216 \sqrt{x} + 7776 - 5184 + 1296$ .

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Etapa 5.2.4.3.1

Some $- 216 \sqrt{x}$ e $216 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 + 0 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.3.2

Some $x + 1296$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 1296 - 5184 + 7776 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.4

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 5.2.4.4.1

Subtraia $5184$ de $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 3888 + 7776 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.4.2

Some $- 3888$ e $7776$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 3888 - 5184 + 1296$

Etapa 5.2.4.4.3

Subtraia $5184$ de $3888$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x - 1296 + 1296$

Etapa 5.2.4.5

Combine os termos opostos em $x - 1296 + 1296$ .

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Etapa 5.2.4.5.1

Some $- 1296$ e $1296$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x + 0$

Etapa 5.2.4.5.2

Some $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} + 6) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296)$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Etapa 5.3.3

Remova os parênteses.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296} + 6$

Etapa 5.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.4.1

Associe cada termo aos termos da fórmula do teorema binomial.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{x^{4} - 4 \cdot (6 x^{3}) + 6 \cdot (6^{2} x^{2}) - 4 \cdot (6^{3} x) + 6^{4}} + 6$

Etapa 5.3.4.2

Fatore $x^{4} - 4 \cdot 6 x^{3} + 6 \cdot 6^{2} x^{2} - 4 \cdot 6^{3} x + 6^{4}$ usando o teorema binomial.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = \sqrt[4]{{(6 - x)}^{4}} + 6$

Etapa 5.3.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = 6 - x + 6$

Etapa 5.3.5

Some $6$ e $6$ .

$f (x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296) = - x + 12$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$ é o inverso de $f (x) = \sqrt[4]{x} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} - 24 x^{3} + 216 x^{2} - 864 x + 1296$