Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} + x - 6}{- 4 x - 8}$ é indefinida.

$x = - 2$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x^{2} + x - 6$ usando o método AC.

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Etapa 5.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 6$ e cuja soma é $1$ .

$- 2, 3$

Etapa 5.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{- 4 x - 8}$

Etapa 5.1.2

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x - 8$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) - 8}$

Etapa 5.1.2.1.2

Fatore $4$ de $- 8$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x) + 4 (- 2)}$

Etapa 5.1.2.1.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (- 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- x - 2)}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 2)}$

Etapa 5.1.2.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x) - 1 (2))}$

Etapa 5.1.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- (x + 2))}$

Etapa 5.1.2.5

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.1.2.5.1

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (- 1 (x + 2))}$

Etapa 5.1.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{(x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2

Expanda $- (x - 2) (x + 3)$ .

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Etapa 5.2.1

Negative $x - 2$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(- x + 2) (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x (x + 3) + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 (x + 3)}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 3 + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.6

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.7

Fatore o negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.11

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (3 x) + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.12

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.13

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.14

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 2 \cdot 3}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.15

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 2 x + 6}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.2.16

Some $- 3 x$ e $2 x$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 (x + 2)}$

Etapa 5.3

Expanda $4 (x + 2)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 4 \cdot 2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} - x + 6}{4 x + 8}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$x$

$6$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} - 2 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					+	$x$	+	$2$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 2$ .

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$	+	$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$8$	-	$x^{2}$	-	$x$	+	$6$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$x$	+	$6$
					-	$x$	-	$2$
							+	$4$

Etapa 5.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4 x + 8}$

Etapa 5.15

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- \frac{x}{4} + \frac{1}{4} - \frac{4}{- 4 x - 8}$

Etapa 5.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 7