Pré-cálculo Exemplos

$y = a x^{2} + c$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $a x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y - a x^{2} = c$

Etapa 1.2

Subtraia $c$ dos dois lados da equação.

$y - a x^{2} - c = 0$

Etapa 1.3

Mova $y$ .

$- a x^{2} - c + y = 0$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1}$

Etapa 5.3.3

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

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Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(1, 0), (- 1, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

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Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\sqrt{2}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \sqrt{2}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Divida $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ por $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Etapa 8.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 8.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt{1 + 1}$

Etapa 8.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

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Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

Etapa 11

Simplifique $1 \cdot x + 0$ .

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Etapa 11.1

Some $1 \cdot x$ e $0$ .

$y = 1 \cdot x$

Etapa 11.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$y = x$

Etapa 12

Simplifique $- 1 \cdot x + 0$ .

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Etapa 12.1

Some $- 1 \cdot x$ e $0$ .

$y = - 1 \cdot x$

Etapa 12.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = x, y = - x$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(1, 0), (- 1, 0)$

Ponto imaginário: $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Excentricidade: $\sqrt{2}$

Parâmetro focal: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Assíntotas: $y = x$ , $y = - x$

Etapa 15