Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{\frac{(x - 2) (x + 5)}{x + 2}}$

Etapa 1

Defina o radicando em $\sqrt{\frac{(x - 2) (x + 5)}{x + 2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\frac{(x - 2) (x + 5)}{x + 2} \geq 0$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 2 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 2.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.5

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 2$

$x = - 5$

$x = - 2$

Etapa 2.6

Consolide as soluções.

$x = 2, - 5, - 2$

Etapa 2.7

Encontre o domínio de $\frac{(x - 2) (x + 5)}{x + 2}$ .

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Etapa 2.7.1

Defina o denominador em $\frac{(x - 2) (x + 5)}{x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 = 0$

Etapa 2.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.7.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Etapa 2.8

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Etapa 2.9

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.9.1

Teste um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 5$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 8$

Etapa 2.9.1.2

Substitua $x$ por $- 8$ na desigualdade original.

$\frac{((- 8) - 2) ((- 8) + 5)}{(- 8) + 2} \geq 0$

Etapa 2.9.1.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.2

Teste um valor no intervalo $- 5 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 5 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 2.9.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{((- 4) - 2) ((- 4) + 5)}{(- 4) + 2} \geq 0$

Etapa 2.9.2.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 2.9.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{((0) - 2) ((0) + 5)}{(0) + 2} \geq 0$

Etapa 2.9.3.3

O lado esquerdo $- 5$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 2.9.4

Teste um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.9.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 2.9.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{((4) - 2) ((4) + 5)}{(4) + 2} \geq 0$

Etapa 2.9.4.3

O lado esquerdo $3$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 2.9.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

$x < - 5$ Falso

$- 5 < x < - 2$ Verdadeiro

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadeiro

Etapa 2.10

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 5 \leq x < - 2$ ou $x \geq 2$

Etapa 3

Defina o denominador em $\frac{(x - 2) (x + 5)}{x + 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 = 0$

Etapa 4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 5, - 2) \cup [2, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 5 \leq x < - 2, x \geq 2}$

Etapa 6